Условие возникновения резонанса в параллельном контуре

В общих физических понятиях условия резонанса возникают при совпадении частоты внешних воздействий с внутренними параметрами системы. Наглядный пример – качание маятника. При правильном подборе движений слабым усилием существенно увеличивают амплитуду колебаний. Аналогичный результат можно получить в электрических цепях, которые составлены из компонентов с реактивными характеристиками.

Использование резонанса напряжений для передачи радиосигнала

Колебательный контур этого типа создают из последовательной комбинации трех базовых компонентов: резистор, конденсатор, индуктивность. Подходящим для резонанса условием является нулевое сопротивление цепи (комплексное). Для решения такой задачи следует изучить основные формулы.

Комплексное сопротивление Rк=R+j(wL-1/wC). Постоянный резистор (R) не зависит от частоты (w). Значит, придется оперировать с индукционными и емкостными элементами. Резонансный эффект получают при (wL-1/wC)=0. Для вычисления необходимых значений пользуются следующими расчетами:

Из приведенных данных понятно, что корректировать можно любой из параметров при одновременном сохранении двух других. В практической схемотехнике удобнее работать с частотой, поэтому рассмотрим подробнее применение такого варианта.

На рисунках показаны условия возникновения резонанса напряжений. В точке, обозначенной w0, наблюдается равенство индуктивной и емкостной составляющих на определенной частоте. Небольшой сдвиг влево по оси обусловлен резистивным компонентом цепи.

Напряжение на конденсаторе (Uc) при частоте резонанса (W0) равно волновому сопротивлению колебательного контура (p=√L/C). Аналогичная разница потенциалов будет на клеммах катушки при частоте W0. Данная особенность объясняет особое название процесса – «резонанс напряжений». Также в электротехнических расчетах применяют следующие определения:

Отмеченные свойства используют в радиоприемной и передающей аппаратуре. Выделение контуром определенного диапазона позволяет выполнять настройку станции на определенную частоту с определенной параметрами цепи погрешностью. Для контроля избирательности оценивают амплитуду сигнала относительно резонансной частоты. Уровень отклонения на 3 дБ в обе стороны (0,7 от максимума) называют полосой пропускания.

Собственная частота резонансного контура

Емкость конденсатора (С) в совокупности с индуктивностью катушки (L) определяют собственную частоту контура (Wc). Для приблизительных расчетов пользуются формулой Wc=1/√L*C. В этом случае речь идет об идеальных условиях, когда потерями пренебрегают по причине минимальных значений.

Для повышения точности применяют коэффициент затухания (Кз). С учетом этого фактора можно привести следующую зависимость между собственной и резонансной частотами:

Резонанс токов, параллельный резонанс

В электротехнике часто применяют не последовательное, а параллельное соединение конденсатора и катушки.

Следует помнить! В такой ситуации реактивные элементы рассматривают по измененной схеме. Вместо сопротивлений оперируют суммой проводимостей.

В этом примере рассмотрим уточненные параметры. Величину (I) определяют по сумме токов, которые проходят по индуктивному и емкостному участкам цепи. В обеих ситуациях определенное значение имеет частота (w):

Диаграммы наглядно демонстрируют характерные изменения физических параметров при работе контура в трех типовых режимах. На рисунке а) изображен емкостной вариант. Предполагается что w*L больше, чем 1/w*С. В этом случае минимальным значением RL можно пренебречь, что несколько упрощает приведенную выше формулу для расчета тока. Он будет отставать от вектора напряжения на угол ϕL. Второй рисунок демонстрирует обратную ситуацию, когда IL больше Ic.

Для резонансных условий надо, чтобы фазы совпадали. Это показано векторами на рисунке в). Такая ситуация получится, если w*L равно 1/ w*С. В этом случае наблюдается примерное равенство IL и Ic, что определено во втором названии явления – «резонанс токов».

Резонанс в распределённых колебательных системах, нелинейные процессы

Общим понятием для всех явлений данной категории можно назвать действенную связь с окружающей средой. В механических системах влияние на амплитуду фазовых характеристик процесса оказывает определенное положение в пространстве. В колебательном контуре радиоприемника, кроме собственного затухания, приходится учитывать реальный электромагнитный фон. При определенных условиях с высоким значением добротности допустимо образование стоячих волн.

Следует понимать! Результат воздействия во многом зависит от совпадения по фазе и частоте.

Если пружина создана с различным распределением плотности витков, типовые формулы не действуют. Стандартные расчеты подразумевают равномерные упругость и деформации каждой части. Для уточнения нелинейности применяют корректирующие коэффициенты, сложные многоэтапные схемы вычислений.

Аналогичные особенности учитывают при использовании диодов или других радиотехнических компонентов с переменными амплитудно-частотными характеристиками. Если катушку индуктивности намотать на сердечнике из ферромагнитного материала, также придется учитывать нелинейность выходных параметров. Ее не получится описать элементарным уравнением закона Ома.

В нелинейных контурах при определенном спектральном распределении внешних воздействий присутствуют гармонические колебания. Кроме совпадения частот, значение имеет их амплитуда. В зависимости от настроек, они способны выполнять полезные и вредные функции. Определенные условия вызывают искажение формы базового сигнала.

Резонанс в линейных системах с одной степенью свободы

К этой группе можно причислить рассмотренные последовательные и параллельные электрические схемы. Механический пример – пружина с грузом, который способен перемещаться только по вертикальной прямой. Исключены порывы ветра, вибрации, другие «паразитные» внешние воздействия. В подобных условиях можно применять типовые формулы для систем линейного типа.

Отмеченная выше добротность является определяющим фактором для избирательности по частоте. Сужение ширины резонансного диапазона помогает улучшить характеристики приемных и передающих устройств. Кроме экономного расходования электроэнергии, при правильном расчете схемы существенно улучшается помехозащищенность.

Параллельный резонанс при источнике ЭДС

Добротность для параллельной схемы вычисляют по формуле Q=R√C/L. При равенстве частот (источника и контура) сопротивление в отдельных ветвях не различается. Одинаковые значения токов создают компенсированные реактивные параметры конденсатора и катушки.

При отклонении частоты от резонансного значения в нижний (верхний) диапазон сопротивление приобретает емкостной (индуктивный) характер, соответственно. В обычном рабочем цикле происходит энергетический обмен между реактивными элементами цепи. Этот режим характеризуется увеличением в Q раз тока, проходящего по внутреннему контуру, по сравнению с поступающим от источника ЭДС. Идеальные условия, когда добротность стремится к бесконечной величине, невозможны. Прямые и паразитные потери в цепях ограничивают рост силы резонансного тока.

Последовательный резонанс при источнике тока

Измерение сопротивления в цепи с последовательно подключенными реактивными элементами поможет фиксировать на определенной частоте резонанс. В этом случае для эксперимента пользуются источником тока. При низкой (высокой) частоте ограничивающее влияние оказывают емкостные (индуктивные) характеристики цепи. На частоте резонанса суммарное реактивное сопротивление минимально.

На рисунках изображены следующие зависимости от частоты:

• а. общего сопротивления;
• б. реактивных компонентов;
• в. силы тока в резонансных режимах.

Резонанс в реальных цепях

Для изучения описанных процессов надо собрать контур из соответствующих компонентов. Придется подготовить генератор с изменяющейся частотой выходного сигнала, осциллограф и другие измерительные инструменты. Чтобы получить достоверные результаты без лишних трудностей, пользуются специализированным программным обеспечением.

В левой части рисунка размещены схема и амплитуда сигнала на выходе при подключении к выводам конденсатора параллельного контура. В правой – снимок экрана измерительной аппаратуры. Несложно убедиться в идентичности колебаний.

К сведению. С помощью ПО выполняют десятки экспериментов быстро и точно в обычных домашних условиях. Этот способ значительно упрощает создание электрических схем с оптимальными параметрами.

Частотные характеристики контура

Для любой схемы определить выходные параметры можно по параметрам входного сигнала, значениям емкости (индуктивности). Также применяют расчет по добротности контура:

• параллельный: Q=1/w*L*C;
• последовательный: Q= 1/w*C*R=wL/R.

Резонанс в линейных колебательных системах с несколькими степенями свободы

Такие расчеты понадобятся при конструировании двух последовательных контуров с индуктивной связью. В этом случае переменные колебательные процессы оказывают взаимное влияние. Фактически речь идет о распределенной системе.

Кроме схемотехники, в подобных ситуациях отдельно изучают коэффициент связи (Кс). При работе с трансформатором его вычисляют делением напряжений на первичной (вторичной) катушке, соответственно. Следует учесть реактивные характеристики, которые преобладают в рабочем диапазоне частот.

Узнав, что такое резонанс напряжений и токов, можно самостоятельно реализовать различные проекты. Тщательная предварительная подготовка необходима для создания схемы с хорошими эксплуатационными параметрами. Начинают с чертежей и расчетной части. Теоретические изыскания дополняют изготовлением макета и практическими испытаниями. Ускоряют подготовку конструкторской документации, а также выполняют эксперименты с применением программного обеспечения. В наиболее сложных ситуациях обращаются к опытным специалистам.

Видео

Условие резонанса в последовательном колебательном контуре?

При Р. в электрич. цепях реактивная часть комплексного импеданса обращается в нуль. При этом в после-доват. цепи падения напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе имеют амплитуду QE. Однако они складываются в противофазе и взаимно компенсируют друг друга. В параллельной цепи (рис. 1, б)при Р. происходит взаимная компенсация токов в ёмкостной и индуктивной ветвях. В отличие от последоват. Р., при к-ром внеш. силовое воздействие осуществляется источником напряжения, в параллельном контуре резонансные явления реализуются только в том случае, когда внеш. воздействие задаётся источником тока. Соответственно Р. в последоват. контуре называют Р. напряжений, а в параллельном контуре — Р. токов. Если в параллельный контур вместо генератора тока включить генератор напряжения, то на резонансной частоте будут выполняться условия не максимума, а минимума тока, поскольку вследствие компенсации токов в ветвях, содержащих реактивные элементы, проводимость цепи оказывается минимальной (явление антирезонанса).

Трофимова Т.И. Курс физики, 2001 г., стр. 217 — 218

Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),

(150.1)

то угол сдвига фаз между током и напряжением (149.9) обращается в нуль ( j =0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота

(150.2)

В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивле­нием, принимая максимальные (возможные при данном U_m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, прило­женному к цепи (U_R =U), а падения напряжений на конденсаторе (U_C) и катушке индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последовательным резонансом), а частота (150.2) — резонансной частотой. Векторная диаграмма для резонанса напряжений при­ведена на рис. 218, а зависимость амплитуды силы тока от w уже была дана на рис. 211.

В случае резонанса напряжений

подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

где Q — добротность контура, определяемая выражением (146.14). Так как доброт­ность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонан­са на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QU_m (Q в данном случае—добротность контура, которая может быть значительно больше U_m). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс­ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции элект­рических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте , когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора .

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром . Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах . Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами ( номиналами ) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.

Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения

,

где ; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри ; C — ёмкость в фарадах . Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы .

Рассмотрим характеристики простейшего параллельного резонансного контура (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Параллельный резонансный контур

Для схемы на рис. 10.4 входной ток / и входное напряжение U будут совпадать по фазе, когда мнимая часть входной проводимости У_вх будет равна нулю:

При параллельном включении элементов проводимости складываются:

следовательно, условием резонанса в параллельном контуре (резонанса токов) будет равенство реактивных проводимостей со С = —.

Откуда легко получить формулу для определения резонансной частоты:

Частотная характеристика тока параллельного резонансного контура имеет следующий вид (рис. 10.5).

Рис. 10.5. АЧХ и ФЧХ входного тока параллельного резонансного контура

Добротность параллельного контура определяется по формуле

Из формулы добротности видно, что при увеличении активного сопротивления цепи R и емкости конденсатора С добротность контура растет, при увеличении индуктивности катушки — падает.

Если электрическая цепь содержит и последовательно, и параллельно включенные реактивные элементы, то в схеме могут возникнуть так называемые частные резонансы. Например, в схеме на рис. 10.6 катушка индуктивности L_l и резистор R включены последовательно с параллельным резонансным контуром L₂, С.

Рис. 10.6. Сложный резонансный контур

Входное напряжение и входной ток будут совпадать по фазе в случае, когда индуктивное сопротивление катушки L_x будет скомпенсировано емкостным сопротивлением параллельного контура L₂, С. Следовательно, в схеме будет наблюдаться резонанс напряжений. Условием возникновения резонанса напряжений будет отсутствие мнимой части во входном сопротивлении Im[Z_BX] = 0.

Входное сопротивление цепи

а условием резонанса напряжений будет юL + ——у = 0.

Частный резонанс токов будет возникать в параллельном колебательном контуре на частоте со_0т = —j==. АЧХ входного тока схемы изображена на рис. 10.7.

Рис. 10.7. АЧХ входного тока сложной резонансной схемы

На рис. 10.7 обозначены со^ — резонансная частота параллельного колебательного контура (резонанс токов); со_0н — резонансная частота последовательного колебательного контура (резонанс напряжений). Схемы, АЧХ которых имеет два и более экстремума, называют полосовыми или гребенчатыми фильтрами.

Пример 10.1. Для схемы на рис. 10.8 определить емкость конденсатора, при которой в цепи будет наблюдаться явление резонанса на частоте входного воздействия. Определить добротность колебательного контура, ширину полосы пропускания, токи в режиме резонанса. Построить векторную диаграмму напряжений.

Рис. 10.8. Резонансная цепь

Решение. В цепи будет наблюдаться режим резонанса напряжений, так как индуктивный элемент L включен последовательно резистивно-емкостному элементу R₂—C.

Рассчитаем комплексные параметры схемы:

Условие резонанса напряжений: Im[Z_BX] = 0. Входное сопротивление цепи

Из условия резонанса следует:

Решая уравнение, получим значение емкостного сопротивления Х_с = 200.

Рассчитаем емкость конденсатора, которая удовлетворяет условию резонанса:

Чтобы представить цепь (см. рис. 10.8) в виде простейшего последовательного резонансного контура, перепишем формулу входного сопротивления в виде

Определим добротность колебательного контура:

Рассчитаем граничные частоты полосы пропускания coj и со₂, ис_ пользуя формулы:

При со = 1000 рад/с и 0 = 0,5 получим две пары значений граничных частот:

Отрицательная частота не имеет смысла, следовательно, окончательным будет решение для граничных частот и полосы пропускания:

Токи рассчитаем для комплексной схемы (рис. 10.9).

Рис. 10.9. Комплексная резонансная цепь

Расчет схемы проведем по закону Ома:

Переведем комплексные значения токов во временную форму:

Для составления векторной диаграммы рассчитаем напряжение на резисторе и катушке L:

Векторную диаграмму (рис. 10.10) составим по второму закону Кирхгофа:

Рис. 10.10. Векторная диаграмма напряжений

Пример 10.2. Для комплексной схемы (рис. 10.11) определить индуктивное сопротивление катушки X_L, сопротивление резистора R₂, при которых в цепи будет наблюдаться явление резонанса. Определить добротность колебательного контура, комплексные токи в режиме резонанса.

Рис. 10.11. Комплексная схема с параллельным резонансным контуром

Решение. Схема на рис. 10.11 — комплексная, следовательно, она работает при гармоническом входном воздействии. Важно обратить внимание на то, что в условии задачи заданы действующие значения входных напряжения и тока.

Резонанс в схеме возникнет, когда входной ток и входное напряжение будут совпадать по фазе. Это произойдет, когда емкостная проводимость конденсатора будет скомпенсирована индуктивной проводимостью параллельной конденсатору ветви R₂—L (резонанс токов). При этом резистор R_< на фазовые характеристики параллельного контура влияния не оказывает, следовательно, условие резонанса токов в цепи можно записать в виде 1ш[7_вхконт] = 0, где У_вхконт — комплексная проводимость резонансного контура R₂—L—C:

Приравняем к нулю мнимую часть проводимости контура:

В этом уравнении два неизвестных сопротивления: R₂ и X_L. Составим еще одно уравнение по закону Ома:

Уравнение записано для комплексных тока и напряжения, а заданы только их действующие значения. То есть заданы длины векторов на комплексной плоскости, нет информации о фазовых сдвигах, не задан опорный сигнал, относительно которого определяются фазы. В этом случае за опорный сигнал можно принять любое напряжение или ток в цепи. Расчет будет наиболее простым, если в качестве опорного сигнала взять входной ток (ср, = 0°). Тогда комплексное значение тока можно рассчитать:

В режиме резонанса входное напряжение и ток совпадают по фазе, следовательно,