Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований
Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.
На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.
Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.
Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда » в эквивалентный «треугольник » и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.
В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.
Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований
Задача 1. Для цепи (рис . 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R1 = R2 = 0,5 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = R5 = 1 Ом, R6 = 12 Ом, R7 = 15 Ом, R8 = 2 Ом, R9 = 10 Ом, R10= 20 Ом.
Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:
Задача 2. Для цепи (рис . 2, а), определить входное сопротивление если известно: R1 = R2 = R3 = R4= 40 Ом.
Рис. 2
Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис . 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:
где R – величина сопротивления, Ом;
n – количество параллельно соединенных сопротивлений.
Преобразуем соединение «треугольник » f−d−c в эквивалентную «звезду ». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис . 3, б):
По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:
На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:
И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:
Задача 4. В заданной цепи (рис . 4, а) определить методом эквивалентных преобразований входные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 =4 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 2 Ом, R6 = 8 Ом, R7 = 6 Ом, R8 =8 Ом.
Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d, а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.
Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление Ra–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис . 4, б):
Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей Rcd и Rbf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает ») из схемы сопротивления R1, R2, R3, R4 в первом случае, и R5, R6, R7, R8 во втором случае.
Задача 5. В цепи (рис . 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I1, I2, I3 и составить баланс мощностей, если известно: R1 = 12 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, U = 120 В.
Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:
Эквивалентное сопротивление всей цепи:
Ток в неразветвленной части схемы:
Напряжение на параллельных сопротивлениях:
Токи в параллельных ветвях:
Баланс мощностей:
Задача 6. В цепи (рис . 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R1 = 2 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 40 Ом, R5 = 10 Ом, R6 = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.
Если сопротивления R2, R3, R4, R5 заменить одним эквивалентным сопротивлением RЭ, то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис . 6, б).
Величина эквивалентного сопротивления:
Преобразовав параллельное соединение сопротивлений RЭ и R6 схемы (рис . 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:
Напряжение на зажимах параллельных ветвей Uab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием RЭ и R6:
Тогда амперметр покажет ток:
Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис . 7, а), если R1 = R2 = R3 = R4 = 3 Ом, J = 5 А, R5 = 5 Ом.
Преобразуем «треугольник » сопротивлений R1, R2, R3 в эквивалентную «звезду » R6, R7, R8 (рис . 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:
Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5
Ток в контуре, полученном в результате преобразований, считаем равным току источника тока J, и тогда напряжение:
Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U32 из уравнения по второму закону Кирхгофа:
Тогда ток в ветви с сопротивлением R3 определится:
Величины оставшихся неизвестными токов можно определить из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 1:
Метод эквивалентных преобразований
Методы расчёта электрических цепей постоянного и переменного тока, с точки зрения электротехники, абсолютно аналогичны, однако, математически расчёт цепей переменного тока значительно более сложен, в связи с применением в расчётах комплексных чисел, поэтому рассмотрение методов расчёта мы проведём на примере цепей постоянного тока.
Основная задача расчета электрических цепей –– определить токи и мощности в различных элементах цепи, а также напряжения на отдельных участках.
Исходными данными,обычно, являются значения ЭДС и напряжений, имеющихся в схеме и параметры (сопротивления), либо характеристики (номинальные мощность и напряжение) элементов цепи.
Режим работы источников. По результатам расчета цепи можно определить режим работы источников:
режим источника –– ток в источнике и падение напряжения на нём (или его ЭДС) совпадают по направлению;
режим нагрузки –– ток в источнике и падение напряжения на нём (или его ЭДС) противоположны по направлению.
2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока
Баланс мощностей. Умножив левую и правую часть уравнения по второму закону Кирхгофа на ток получим:
таким образом, в любом замкнутом контуре алгебраическая (т. е. с учётом знака) сумма мощностей источников ЭДС равна сумме мощностей потребляемых всеми сопротивлениями. Это условие называется баланс мощностей и применяется для проверки правильности расчетов электрических цепей.
2.3.1. Метод эквивалентных преобразований (эквивалентного сопротивления)
Идея метода состоит в замене сложной электрической цепи (или её участка) эквивалентной, которая не изменяет режим работы остальной части цепи.
Расчёт, обычно, ведётся для цепей с одним источником питания и начинается с элементов, наиболее удалённых от источника или точек соединения рассматриваемого участка с остальной цепью.
1. Проведём последовательную замену элементов электрической цепи эквивалентными. Преобразования производятся по правилам, рассмотренным в § 1.4 на стр. 34 . Целью преобразований является построение цепи, содержащей два эквивалентных элемента –– источник электрической энергии и сопротивление.
2. Находим ток в эквивалентной цепи и, проводя обратное преобразование эквивалентной цепи в исходную, токи в ветвях.
Найдём токи в электрической цепи, приведённой на рис. 2.1 , сопротивления резисторов и приложенное к цепи напряжение известны.
Путем эквивалентных преобразований цепи получают неразветвленную цепь, содержащую источник ЭДС и приемник с эквивалентным сопротивлением.
По закону Ома для полной цепи вычисляют ток в неразветвленной части цепи. Затем находят распределение этого тока по отдельным ветвям.
Правила замены двух — и трехполюсников эквивалентными схемами при-ведены в табл. 1. После каждого этапа преобразования рекомендуется заново начертить цепь с учетом выполненных преобразований (см. табл. 2).
Таблица 1 – Эквивалентные преобразования простейших электрических цепей
Таблица 2 – Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований